Johannes Burckardt nacque a Nieder-Haslach, vicino Strasburgo, in una data compresa tra il 1445 e il 1450. L’antico nome della città alsaziana era Argentoratum, da cui l’attributo di argentinensis (o argentinus) che Burckardt usò spesso nella sua firma.
La fama di Burckard è soprattutto legata al suo Liber Notarum, il diario nel quale documentò la sua attività di cerimoniere pontificio, dal dicembre 1483 alla sua morte, avvenuta nel 1506. Durante questo lungo periodo, cinque papi si susseguirono sul soglio pontificio: Sisto IV, Innocenzo VIII, Alessandro VI, Pio III e Giulio II.

Nel 1491, Johannes Burckardt prese in affitto dal monastero di Farfa, nelle vicinanze della via papalis, un terreno con alcuni casamenti ed una torre medioevale. Questi edifici, come molti altri della zona, sorgevano sulle vestigia del teatro di Pompeo, il primo teatro romano in muratura, la cui struttura ancora influenza la topografia dell'area. Nel Medioevo, infatti, le fondamenta del teatro furono usate come basi per le costruzioni civili, tanto che la forma della cavea è ancora ben evidente negli edifici disposti ad arco tra via dei Satiri, piazza del Pallaro e piazza del Biscione.
Davanti al teatro di Pompeo, separato da un porticato detto "delle cento colonne" (hecatostylum), si sviluppava un vasto giardino circondato da un quadriportico. Via del Sudario sarebbe la sopravvivenza della strada che univa il lato settentrionale del quadriportico all’hecatostylum.

Il terreno preso in affitto da Burckardt confinava con l’abitazione del potente cardinale Cesarini, che possedeva numerose altre proprietà in quella zona: una vasta area del quartiere S. Eustachio, tutta la porzione attualmente compresa tra Campo de’ Fiori, via dei Giubbonari, via Arenula, via di Torre Argentina e Corso Vittorio Emanuele II, eccetto pochi edifici religiosi, come la chiesa di S. Giuliano dei Fiamminghi e quella del Sudario.
Su questo terreno Burckardt edificò la sua casa, demolendo parzialmente i fabbricati esistenti e inglobandone parte nella nuova costruzione.

Il fabbricato principale della casa di Burckardt, che inglobava la torre, ospitava le stanze del prelato. La facciata esterna di questo fabbricato è stata molto rimaneggiata dal restauro del 1931, mentre la facciata interna ha mantenuto una maggiore fedeltà all’aspetto originale: una loggia a tre archi era appoggiata alla torre, di cui all’esterno non vi era più traccia, se non nelle piccole finestre sovrapposte. Un corpo di fabbrica in stile rinascimentale, probabilmente di qualche anno posteriore alla morte di Burckardt, collega l'edificio principale a quello secondario, ed è caratterizzato da una bella decorazione graffita a finta punta di diamante, tipica del primo Cinquecento romano. L’ipotesi più plausibile è che questo collegamento fosse in origine un loggiato aperto che sosteneva un corridoio soprastante.
Il fabbricato secondario, che si estendeva fino all'odierna via dei Barbieri, era adibito a edificio di servizio: cucine, stalle, stanze per la servitù. Proprio su quest'ultimo fabbricato sorse ben presto una disputa col cardinal Cesarini, secondo il quale l'ala secondaria era stata edificata su un terreno di sua proprietà. La disputa si protrasse a lungo, e soltanto sotto Alessandro VI si riuscì a comporla: una salomonica sentenza dell’arcivescovo di Ragusa decise infatti che la casa di Burckardt non sarebbe stata demolita, come pretendeva il cardinal Cesarini, ma alla morte del prelato alsaziano sarebbe entrata a far parte del patrimonio dalla nobile famiglia romana.

Il passaggio di proprietà avvenuto alla morte di Burckardt cancellò per vari secoli il ricordo dell'antico proprietario, anche se la torre che faceva parte della casa continuava ad essere nota col nome di Torre Argentina, proprio per l'attributo argentinus del quale Burckardt usava fregiarsi. Durante il lungo periodo di oblio, però, per un equivoco generato dal nome, l'antico proprietario del palazzetto fu erroneamente identificato col cardinale Francesco Argentino.
Dal 1506 fino al secondo decennio dell’800, i certificati catastali dello Stato Pontificio attestano l’appartenenza del palazzetto e dei fabbricati relativi alla famiglia Cesarini. Nel 1730 i Cesarini avviarono il progetto di costruzione del Teatro Argentina: una parte dell’edificio secondario venne abbattuta per fare spazio al palcoscenico; la torre e altri ambienti del palazzetto furono adibiti a servizi per il teatro, l’edificio di raccordo si trasformò in camerini per gli attori.
Nell’Ottocento la famiglia Cartoni, acquistato il palazzetto dai Cesarini, dapprima mozzò la sommità della torre e quindi sopraelevò l’edificio di un piano, facendo così scomparire ogni traccia della torre medioevale. Dopo alcuni altri passaggi di proprietà tra la famiglia Cartoni e i Torlonia, divenuti a un certo punto proprietari del teatro, nel 1869 il Comune di Roma acquistò il Teatro Argentina, con annessi edifici circostanti, ad esclusione del "fabbricato Cartoni", cioè della parte del palazzo prospiciente su via del Sudario, che fu poi anch'essa acquisita nel 1882, probabilmente in vista di un allargamento del teatro. Il restauro del teatro avvenuto in questo periodo portò alla luce le varie stratificazioni archeologiche, dalle vestigia del teatro di Pompeo ai resti del monastero medioevale, ridestando l'interesse per un'area trascurata da molto tempo.

Nel 1908, notando gli antichi stemmi in pietra presenti nel palazzetto e raffiguranti un grifone rampante sormontato da una stella, Domenico Gnoli si accorse che essi non coincidevano affatto con lo stemma del cardinale Argentino, ma riproducevano invece i sigilli noti di Johannes Burckardt, episcopus argentinus. La scoperta suscitò l'entusiasmo di Gnoli, che vide così spiegati gli evidenti influssi germanici presenti nella costruzione, anche se tale entusiasmo lo portò forse ad esagerare nel definire l'edificio "un cuneo tedesco nella Roma del Rinascimento". In realtà, questa casa non si discosta dalle caratteristiche dell’edilizia abitativa romana del Quattrocento, ed è una abitazione a schiera tipica di quel periodo, quando le grandi opere architettoniche del medio Rinascimento non erano ancora state completate e non avevano ancora influenzato l'architettura minore. Tuttavia, è innegabile che elementi germanici siano riscontrabili nell'edificio, come la volta a stella dell’ingresso, i peducci di peperino variamente scolpiti, e le porte centinate a tutto sesto e lavorate a cordoni sporgenti nell’androne.

Nel 1923, l’edificio venne sottoposto a un primo tentativo di restauro a cura dell’Ufficio Antichità e Belle Arti. Durante questa prima esplorazione, vennero riaperti il loggiato del secondo piano e due trifore al primo piano, e si scoprirono i resti della scala originaria.
Nel 1929 il palazzetto fu assegnato alla Società degli Autori in uso perpetuo, a condizione che si provvedesse al restauro e che l'edificio fosse destinato ad un progetto di Museo del Teatro Nazionale e Biblioteca di Letteratura Teatrale. L’opera di restauro - che durò fino al 1931 - fu affidata all’architetto Petrignani.